　 Explain Sort Algorithms 　

光庐アルゴリズム

　ここでは光庐に借妄ができるアルゴリズムを疽拆する。ここで光庐と钙んでいるものは、Ｏ∈ｎｌｏｇｎ∷に尸梧できるものである。　

ヒ〖プソ〖ト ( Heapsort )

　ヒ〖プ∈heap∷とは、笆布の掘凤を塔たす２尸腾のことである。２尸腾とは、１つの暮爬から２塑笆布の晦が叫ている腾のことであり、纷换怠尸填では脚妥な菇陇の１つである。

　ヒ〖プ¨２尸腾の称暮爬には肌の２及を塔たさなければならない。
　　　　　　１ˉ　ｈ(i) ℃ ｈ(2i)     i=1,2,3,...
            ２ˉ　ｈ(i) ℃ ｈ(2i+1)   i=1,2,3,...

　つまり、２尸腾の称暮爬に疤弥するデ〖タの猛は、撅に惧に疤弥するデ〖タの猛笆布になっていなければならない。

　毋
 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｈ(1)
                    　　　        　∶
　　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　ｈ(2)  　　　　　　　　　　　　　　　　ｈ(3)
        ∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　ｈ(4)　　　　　　　　　　ｈ(5)         ｈ(6)                   ｈ(7)
  ∶≥≥≤≥≥∶　　　　　∶≥≥≤≥≥∶
ｈ(8)        ｈ(9)       ｈ(10)

　この眷圭、ｈ(1)℃ｈ(2),ｈ(3)
 　　　　　 ｈ(2)℃ｈ(4),ｈ(5)
　　　　　　ｈ(3)℃ｈ(6),ｈ(7)
　　　　　　ｈ(4)℃ｈ(8),ｈ(9)
　　　　　　ｈ(5)℃ｈ(10)

である。ヒ〖プによる事べ垂えは、ヒ〖プがすでに涂えられているものとして、ヒ〖プが鄂になるまで笆布の２つのステップを帆り手す。

ステップ １　呵惧疤のｈ(1)を艰り叫す。
ステップ ２　荒りのヒ〖プｈ(2),ｈ(3),...,ｈ(n)をヒ〖プに浩菇喇する。
　　　　　   浩菇喇は、笆布のa), b) にしたがって乖なう。
　　　　　 　a) ｈ(1)の疤弥にｈ(n)を败瓢する。もとのｈ(n)は猴近する。
　　　　　   b) ｈ(1)の疤弥からshiftdown拎侯を乖なう。
　　　　　　　 shiftdown拎侯¨ ｈ(i) < max(ｈ(2i), ｈ(2i+1))のとき、
 　　　　　　　　　　　　　　　ｈ(2i)とｈ(2i+1)の络きい数をｈ(i)と蛤垂する。
                               蛤垂したところから、票屯な拎侯を帆り手す。

　shiftdown拎侯の毋を笆布に绩す。

介袋觉轮¨
　　　　　　　　　　　　　　８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　 ７３　　　　　　　　　　６６
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　２２　　   　　　３７　　１１　  　　　　４９　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　　６

觉轮２¨介袋觉轮においてｈ(1)である８４を艰り叫し、ｈ(n)である６をｈ(1)の疤弥に败瓢する。　

  　　　　　　　　　　　　　　６　　　　　　　≥≥≥′８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　７３　　　　　　　　　　　６６
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　　２２　　　　　３７　　　１１　　　　　４９　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　　
ｈ(1)の疤弥∈６∷からshiftdown拎侯を乖なう。

　　　　　　　　　　　　　　　７３　　　　　　　≥≥≥′８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　６　　　　　　　　　　　６６
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　　２２　　　　　３７　　　１１　　　　　４９　



　　　　　　　　　　　　　　　７３　　　　　　　≥≥≥′８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　３７　　　　　　　　　　６６
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　　２２　　　　　　６　　　１１　　　　　４９　

觉轮３¨ｈ(1)である７３を艰り殿り、ｈ(n)である４９をｈ(1)の疤弥に败瓢する。

　　　　　　　　　　　　　　　４９　　　　　　　≥≥≥′　７３　８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　６　　　　　　　　　　　６６
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　　２２　　　　　３７　　　１１　　　　　

　ｈ(1)からshiftdown拎侯を乖なう。

　　　　　　　　　　　　　　　６６　　　　　　　≥≥≥′　７３　８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　６　　　　　　　　　　　４９
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　　２２　　　　　３７　　　１１　　　　　
　
觉轮４¨６６を艰り近き、１１をｈ(1)疤弥に败瓢し、shiftdown拎侯を乖なう。

　　　　　　　　　　　　　　　４９　　　　　　　≥≥≥′　６６　７３　８４
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　６　　　　　　　　　　　１１
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　
　　　　　２２　　　　　３７　　　　　　　　

觉轮５¨笆布票屯な拎侯を帆り手す。

　　　　　　　　　　　　　３７　　　　　　　≥≥≥′　４９　６６　７３　８４
　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　６　　　　　　　　　　　１１
　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　
　　　２２　　　　　　　　　　　　　

觉轮６¨

　　　　　　　　　　２２　　　　　　　≥≥≥′　３７　４９　６６　７３　８４
　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　６　　　　　　　　　　　１１

觉轮７¨

　　　　　　　　　　１１　　　　≥≥≥′　２２　３７　４９　６６　７３　８４
　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　６　

觉轮８¨

　　　　　　　　　　６　　　≥≥≥′　１１　２２　３７　４９　６６　７３　８４
　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶

よって、艰り近かれたデ〖タは事べ垂えが貉んでいる。

　肌に、呵介のヒ〖プを菇喇する数恕について揭べる。

ステップ１　扦罢の２尸腾を涂える。この２尸腾の称暮爬のデ〖タの猛をそれぞれ
　　　　  　ｈ(1)、ｈ(2)爥牑ｈ(3)爥牑...をする。
ステップ２　この２尸腾で、晦が１塑も叫ていない暮爬、つまり
　　　　　 　ｈ(k),ｈ(k+1)、...爥牑ｈ(n)　∈k=[n/2]+1∷
　　　　　  は、布疤にデ〖タを积たないため、ヒ〖プの掘凤が塔颅されていると
　　　　  　豺坚できる。　
ステップ３　荒りの暮爬をｈ(k-1),ｈ(k-2),...,ｈ(1)の界にとりあげ、その暮爬を
            布疤の婶尸腾の含∈ｈ(1)∷とみたてヒ〖プを菇喇していく。その狠には、
            涟淡のshiftdown拎侯を蝗う。

　ヒ〖プ栏喇の毋

介袋觉轮¨
　　　　　　　　　　　　 　　２１
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　５３　　　　　　　　　　　１２
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　　４６　　　　　８７　　　５９　 　　　　４０　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　７０

觉轮２¨介袋觉轮において７０·４０·５９·８７は布疤にデ〖タを积たないので、ヒ〖プの掘凤を塔颅していると雇えられる。まず、４６を２尸腾の含とみたてshiftdown拎侯を乖なう。

 　　　　　　　　　　　　　　２１
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　 　５３　　　　　　　  　　１２
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　７０　　　　　   ８７　　５９　　　  　　４０　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　 ４６

觉轮３¨觉轮２において７０·８７·５９·４０·４６は、ヒ〖プの掘凤を塔颅していると雇えられる。肌に１２を２尸腾の含とみたてshiftdown拎侯を乖なう。

　　　　　　　　　　　　　　 ２１
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　 ５３　 　　　 　　　　　５９
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　 ７０　　　　　  ８７　　１２　　　　　  ４０　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　 ４６

觉轮４¨觉轮３において５９·７０·８７·１２·４０·４６は、ヒ〖プの掘凤を塔颅していると雇えられる。肌に５３を２尸腾の含とみたてshiftdown拎侯を乖なう。

　　　　　　　　　　　　　　 ２１
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　 ８７　　　　　　　　　　５９
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　 ７０　　　　　  ５３　　１２　　　　　  ４０　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　 ４６

觉轮５¨觉轮４において８７·５９·７０·５３·１２·４０·４６は、ヒ〖プの掘凤を塔颅していると雇えられる。肌に２１についてshiftdown拎侯を乖なう。

　　　　　　　　　　　　　 　８７
　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　 　７０　　　　　　　　　　５９
　　　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶　　　∶≥≥≥≤≥≥≥∶
　　　　 ４６　　　　　  ５３　　１２　　　　  　４０　
　　∶≥≥≤≥≥∶
　 ２１

よって、扦罢に涂えた２尸腾に滦して、ヒ〖プが菇喇できた。

　惧淡で棱汤した雇えをもとに、デ〖タの事べ垂えを乖なう。悸狠に纷换怠で乖なう眷圭、２尸腾を山附することは烫泡なことである。そこで、海搀は芹误を供勺し２尸腾にみたてておこなう。布淡のような芹误を雇えてみよう。

　　 ------≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤----
　　∶ｈ(1)∶ｈ(2)　ｈ(3)∶ｈ(4)　ｈ(5)　ｈ(6)　ｈ(7)∶ｈ(8)　ｈ(8)ˇˇˇ
     ------≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤-----≤----

守倒弄に、芹误の惰磊りを掐れている疥と掐れていない疥がある。これは、２尸腾の超霖を汤らかにするためである。惧淡芹误は、布淡の２尸腾を山附していることを妄豺していただきたい。

 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｈ(1)
                    　　　        　∶
　　　　　　　　　　∶≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥≥∶
　　　　　　　　　 ｈ(2)　　　　　　　　　　　　 　　　　ｈ(3)
        ∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶　　　　　　∶≥≥≥≥≥≤≥≥≥≥≥∶
　　　ｈ(4)　　　　　　　　　　ｈ(5)         ｈ(6)                   ｈ(7)
  ∶≥≥≤≥≥∶　　　　　∶≥≥≤≥≥∶
 ｈ(8)       ｈ(9)       ｈ(10)

　アルゴリズムの渴乖とともにヒ〖プが教井するため、芹误の稿萨が鄂となる。そこで、ヒ〖プから艰り叫したデ〖タを芹误の稿ろから界に低めて乖くことにより、ソ〖トが窗位した箕爬で、芹误柒にデ〖タが事べ仑わっていることになる。

　芹误の眷圭の毋

∈１∷　介袋ヒ〖プの栏喇

介袋デ〖タ¨


 	21  53  12  46  87  59  40  70


	21  53  12  70  87  59  40  46


	21  53  59  70  87  12  40  46


	21  87  59  70  53  12  40  46

觉轮５¨觉轮４において８７·５９·７０·５３·１２·４０·４６は、ヒ〖プの掘凤を塔颅していると雇えられる。肌に２１を２尸腾の含とみたてshiftdown拎侯を乖なう。


        87  70  59  46  53  12  40  21

∈２∷　ソ〖ト介袋觉轮¨


	87  70  59  46  53  12  40  21

觉轮２¨黎片の８７∈ｈ(1)∷を艰り叫しす。　２１∈ｈ(k)∷を２尸腾の含∈ｈ(1)∷に败瓢し、shiftdown拎侯を乖なう。　艰り叫した８７は芹误の呵稿に呈羌する。


	70  53  59  46  21  12  40  87

觉轮３¨黎片の７０∈ｈ(1)∷を艰り叫しす。４０を２尸腾の含∈ｈ(1)∷に败瓢し、shiftdown拎侯を乖なう。　艰り叫した７０は芹误の呵稿から２戎誊にに呈羌する。


	59  53  40  46  21  12  70  87

觉轮４¨黎片の５９∈ｈ(1)∷を艰り叫す。１２を２尸腾の含∈ｈ(1)∷に败瓢し、shiftdown拎侯を乖なう。　艰り叫した５９は芹误の呵稿から３戎誊に呈羌する。


	53  46  40  12  21  59  70  87

觉轮５¨笆布票屯な拎侯を帆り手す。


	46  21  40  12  53  59  70  87

觉轮６¨


	39  20  12  46  53  59  70  87

觉轮７¨


        21  12  40  46  53  59  70  87

觉轮８¨


	12  21  40  46  53  59  70  87

　惧淡の雇えをプログラムすると、肌のようになる。


 1:  void HeapSort(int data[],int n)  {
 2: 	int top,bottom,tmp;
 3:
 4: 	bottom = n/2 +1;
 5: 	top = n;
 6: 	while (bottom > 0) {
 7:	        bottom--;
 8: 		Shiftdown(data,top,bottom);
 9: 	}
10:  	while (top > 0) {
11:  		tmp = data[0];
12:  		data[0] = data[top];
13:  		data[top] = tmp;
14:  		top--;
15:  		Shiftdown(data,top,bottom);
16:  	}
17:  }
18:  
19:  void Shiftdown(int data[],int top,int bottom) {
20:  	int i, tmp;
21:  	
22:  	i = 2 * bottom;
23:  	while(i <= top) {
24:  		if(i < top && data[i+1]>data[i])  i++;
25:  		if(data[bottom]>=data[i])  break;
26:  		tmp = data[bottom];
27: 		data[bottom] = data[i];
28:  		data[i] = tmp;
29:  		bottom = i;
30:  		i = 2 * bottom;
31:  	}
32:  }

　６×９で介袋のヒ〖プを侯喇し、１０×１６でヒ〖プの浩菇喇を乖なっている。
　ヒ〖プソ〖トの纷换箕粗翁は、Ｏ∈ｎｌｏｇｎ∷である。词帽に、妄统を揭べる。肩に簇眶shiftdown柒の掐れ垂えの搀眶に缅誊してやればよい。つまり、２６×２８の悸乖搀眶である。２尸腾の含から界に、布疤の婶尸腾の暮爬にあるデ〖タと孺秤するため、１搀のshiftdown拎侯では、ｌｏｇ∈ｎ∷搀∈ｌｏｇとは滦眶簇眶であり、この眷圭２尸腾であるため滦眶の撵を２として雇えている。ｎはデ〖タの改眶である。∷孺秤を乖なっていることになる。
　簇眶shiftdownの钙ばれる搀眶は、デ〖タの改眶ｎに孺毋している。そのため、ｎ■ｌｏｇ∈ｎ∷が评られる。答塑弄な雇え数は笆惧の奶りである。
　ヒ〖プソ〖トは、クイックソ〖トに孺べて士堆腆２擒のスピ〖ドを妥する。しかしながら、ヒ〖プソ〖トは、どのような芹弥のデ〖タにも撅にＯ∈ｎｌｏｇｎ∷で借妄がなされ、嘲婶淡脖刘弥柒のデ〖タにも努脱材墙なことから、网脱刨の光いアルゴリズムであるといえる。

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