零仮説

bに対する零仮設の検定

 Y=a+bXにおいて,
 b=0であると,YはXで説明することができない。
 b≠0ならば,YとXの間に直線関係があるといえる。

零仮設の検定は,b=0ではないということを証明するための方法である。

b⁻は,平均b 分散 σ2 /Sxxの正規分布に従いう。
b⁻を標準化(平均0 分散12 になるようにb⁻を変換する)と,b⁻ は,
(-b)/√(σ2 /Sxx)
になる。

この中のσ2 は,無限数プロットがあるときの (Σei2 /N)を表している。
しかし,実際のプロットの数は,それほど多くはない。そのため,σ2 は未知の値である。

そこで,σ2 を (Σei2 /N-2)=Veに置き換えたものを用いる。

図 正規分布

図 標準化

図 t分布

ここで零仮設の検定を行います。

直線Y=a+bXにおいてb=0であると仮定する。
(b⁻-b)/√(Ve/Sxx)= t0  
 b=0なので
(b⁻)/√(Ve/Sxx)= t0

このt0 がt分布の-tα~0~tαの中に入っているとき(t分布の値より小さいとき),b=0という仮説は成り立つといえる。この場合,Y=a+bXの傾きが0なので,YはXで説明することができない。

(b⁻ )/√(Ve/Sxx)=t0 がt分布表の値t( n-2,α)よりも大きいとき,この仮説は成り立たない。
b=0ではない(YとXの間に直線関係がある)ということができる。
 |t0|≧t( n-2,α)  
移項して
 t(n-2,α)/ |t0|≦1 
t0 =(b⁻ )/√(Ve/Sxx)に置き換えて
 { t ( n-2,α ) × √( Ve/Sxx)}/(b⁻ )≦1
ここで{ }の中は上で示したξのことなので,   
ξ/≦1のとき,直線とみなすことができる。        

ξ/b⁻は不確定度τと定義。 評価の座標のX軸は、このτの値によって決まる。
τの値が  
0~0.2のとき    10点
0.2~0.4のとき   8点
0.4~0.6のとき   6点
0.6~0.8のとき   4点
0.8~1.0のとき   2点

の領域に割り振られる。

直線 Y=a+bXにおいて,原点を通るかどうか考える際,着目するのはaである。
これは過去のスモールスケール学生実験のデータから,99.0%信頼区間で計算したτ=1に対応するaの値を求め,切片が零とみなせる値の限界値にした。
τ=1に対応するaの値は 0.1686 である。

aの値が    

0.0000~0.0337 のとき   10点
0.0337~0.0674 のとき    8点
0.0674~0.1012 のとき    6点
0.1012~0.1349 のとき    4点
0.1349~0.1686 のとき    2点

と点数化される。

 

評価の座標において,不確定度τと切片aの交点が実験の得点となる。